БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ, ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ, В ГИДРОАЭРОМЕХАНИКЕ

результат интегрирования дифференциальных уравнений установившегося движения идеальной (невязкой и нетеплопроводной) баротропной жидкости, записанных в переменных Эйлера (см. Эйлера уравнение). В баротропной жидкости плотность $\rho$ зависит только от давления $p$, то есть \[ p=p(\rho), \] и Б. у. имеет вид \[ U+\int \frac{d p}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}=C, \] где $U$ - потенциал поля объемных (массовых) сил, действующих на жидкость, $v-$ скорость течения, $C$ - величина, постоянная на каждой линии тока или вихревой линии, но в общем случае изменяющая свое значение при переходе от одной линии к другой. Если потенциал $U$ и вид функции $p(\rho)$ известны, Б. у. выражается алгебраич. соотношением. В простейшем случае несжимаемой тяжелой жидкости, когда $U=g h(h-$ высота жидкой частицы над нек-рой горизонтальной плоскостью, $g$ - ускорение свободного падения), а $\rho$ = const, имеем \[ g h+\frac{p}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}=C \] Для этого случая уравнение было выведено Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Умножив уравнение (2) на $\rho=$ const, получим, что сумма первых двух членов равна потенциальной энергии жидкости, а 3-й член $\rho v^{2} / 2$, называемый скоростным напором, или динамическим давлением, равен кинетич. энергии движущейся жидкости. Таким образом, Б. у. в виде (2) выражает закон сохранения энергии и устанавливает связь между давлением и скоростью движущейся жидкости: если вдоль линии тока скорость увеличивается, давление падает, и наоборот. Когда в нек-рых точках потока жидкости давление вследствие роста скорости должно стать ниже нек-рой малой положительной величины, близкой к давлению насыщенного пара этой жидкости, возникает так наз. кавитация - образование в капельной среде полостей, заполненных газом, паром или их смесью. В случае обратимых адиабатных течений совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей $c_{p} / c_{v}=\gamma$ имеем $p / \rho^{\gamma}=$ const и из уравнения (1), пренебрегая влиянием силы тяжести, получим: \[ \frac{v}{v-1} \frac{p}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}=\text { const } \] или, в силу термодинамич. соотношения \[ \frac{v}{v-1} \frac{p}{\rho}=c_{p} T=H \] где $T$ - абсолютная температура, $H$ - энтальпия: \[ H+v^{2} / 2=H_{0} \text {. } \] Б. у. для газов в форме (3) и (4) определяет параметры изоэнтропийного торможения: $\boldsymbol{H}_{0}, T_{0}=H_{0} / c_{p}, p_{0}, \rho_{0}$ на каждой линии тока, к-рых газ достигает при $v=0$. Они называются соответственно полной энтальпией, температурой торможения, полным давлением или давлением торможения и плотностью торможения. Б.у. в форме (4) также выражает закон сохранения энергии для газов. В технич. приложениях для осредненных по поперечному сечению параметров потока применяют так наз. обобщенное Б. у.: сохраняя форму уравнений (2)-(4), в левую часть включают работу сил трения (гидравлич. потери) и механич. работу (работу компрессора или турбины) с соответствующим знаком. Обобщенным Б. у. пользуются в гидравлике при расчете течений жидкостей и газов в трубопроводах и в машиностроении при расчете компрессоров, турбин, насосов и других гидравлич. и газовых машин.

результат интегрирования дифференциальных уравнений установившегося движения идеальной (невязкой и нетеплопроводной) баротропной жидкости, записанных в переменных Эйлера (см. Эйлера уравнение). В баротропной жидкости плотность $\rho$ зависит только от давления $p$, то есть \[ p=p(\rho), \] и Б. у. имеет вид \[ U+\int \frac{d p}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}=C, \] где $U$ - потенциал поля объемных (массовых) сил, действующих на жидкость, $v-$ скорость течения, $C$ - величина, постоянная на каждой линии тока или вихревой линии, но в общем случае изменяющая свое значение при переходе от одной линии к другой. Если потенциал $U$ и вид функции $p(\rho)$ известны, Б. у. выражается алгебраич. соотношением. В простейшем случае несжимаемой тяжелой жидкости, когда $U=g h(h-$ высота жидкой частицы над нек-рой горизонтальной плоскостью, $g$ - ускорение свободного падения), а $\rho$ = const, имеем \[ g h+\frac{p}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}=C \] Для этого случая уравнение было выведено Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Умножив уравнение (2) на $\rho=$ const, получим, что сумма первых двух членов равна потенциальной энергии жидкости, а 3-й член $\rho v^{2} / 2$, называемый скоростным напором, или динамическим давлением, равен кинетич. энергии движущейся жидкости. Таким образом, Б. у. в виде (2) выражает закон сохранения энергии и устанавливает связь между давлением и скоростью движущейся жидкости: если вдоль линии тока скорость увеличивается, давление падает, и наоборот. Когда в нек-рых точках потока жидкости давление вследствие роста скорости должно стать ниже нек-рой малой положительной величины, близкой к давлению насыщенного пара этой жидкости, возникает так наз. кавитация - образование в капельной среде полостей, заполненных газом, паром или их смесью. В случае обратимых адиабатных течений совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей $c_{p} / c_{v}=\gamma$ имеем $p / \rho^{\gamma}=$ const и из уравнения (1), пренебрегая влиянием силы тяжести, получим: \[ \frac{v}{v-1} \frac{p}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}=\text { const } \] или, в силу термодинамич. соотношения \[ \frac{v}{v-1} \frac{p}{\rho}=c_{p} T=H \] где $T$ - абсолютная температура, $H$ - энтальпия: \[ H+v^{2} / 2=H_{0} \text {. } \] Б. у. для газов в форме (3) и (4) определяет параметры изоэнтропийного торможения: $\boldsymbol{H}_{0}, T_{0}=H_{0} / c_{p}, p_{0}, \rho_{0}$ на каждой линии тока, к-рых газ достигает при $v=0$. Они называются соответственно полной энтальпией, температурой торможения, полным давлением или давлением торможения и плотностью торможения. Б.у. в форме (4) также выражает закон сохранения энергии для газов. В технич. приложениях для осредненных по поперечному сечению параметров потока применяют так наз. обобщенное Б. у.: сохраняя форму уравнений (2)-(4), в левую часть включают работу сил трения (гидравлич. потери) и механич. работу (работу компрессора или турбины) с соответствующим знаком. Обобщенным Б. у. пользуются в гидравлике при расчете течений жидкостей и газов в трубопроводах и в машиностроении при расчете компрессоров, турбин, насосов и других гидравлич. и газовых машин.