Аналитическая теория чисел

- раздел теории чисел. В А. т. ч. включают вопросы распределения простых чисел, аддитивные проблемы, исследование поведения теоретико-числовых функций, теорию алгебраических и трансцендентных чисел. Распределение простых чисел, а) Одной из интереснейших и труднейших задач А. т. ч. является проблема распределения простых чисел (п. ч.). Первый результат в проблеме распределения п. ч.- теорема Евклида: п. ч. бесконечно много. Пусть (х) - число п. ч., не превосходящих х;тогда теорема Евклида может быть сформулирована так: [img: http://localhost:8080/file/010125-56.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010125-57.jpg]. Следующий шаг в этом вопросе был сделан П. Л. Чебышевым (1850). Он доказал, что: 1) Для величины [img: http://localhost:8080/file/010125-58.jpg] выполняются неравенства [img: http://localhost:8080/file/010125-59.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010125-60.jpg] 2) Если существует предел [img: http://localhost:8080/file/010125-61.jpg] то этот предел равен 1. Проблему существования последнего предела решили в 1896 Ж. Адамар (J. Hadamard) и Ш. Ж. Ла Балле Пуссен (Ch. J. La Vallee Poussin), установив тем самым, что [img: http://localhost:8080/file/010125-62.jpg] Ш. Ж. Ла Балле Пуссен доказал значительно больше, а именно: пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-63.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/010125-64.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-65.jpg] - абсолютная постоянная (см. Балле Пуссена теорема). При решении этой проблемы были использованы методы теории функций комплексного переменного. С проблемой оценки [img: http://localhost:8080/file/010125-66.jpg] тесно связана проблема поведения нек-рой функции комплексного переменного, к-рую впервые (1859) изучал Б. Риман (В. Riemann), и к-рая теперь наз. Рпмана дзета-функцией. Эта функция задается равенством [img: http://localhost:8080/file/010125-67.jpg] При действительном s дзета-функцию рассматривал еще Л. Эйлер (L. Euler; 1737, 1749) и им было доказано тождество, к-рое указывает на связь [img: http://localhost:8080/file/010125-68.jpg] с п. ч.: [img: http://localhost:8080/file/010125-69.jpg] где произведение берется по всем п. ч. Функцию [img: http://localhost:8080/file/010125-70.jpg], заданную рядом при [img: http://localhost:8080/file/010125-71.jpg], можно аналитически продолжить на всю плоскость комплексного переменного; тогда получится функция, к-рая будет аналитической на всей плоскости комплексного переменного за исклю-.ченпем точки [img: http://localhost:8080/file/010125-72.jpg], где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Проблема оценки остатка [img: http://localhost:8080/file/010125-73.jpg] в асимптотич. формуле распределения п. ч. тесно связана с проблемой распределения нулей [img: http://localhost:8080/file/010125-74.jpg] в "критической" полосе [img: http://localhost:8080/file/010125-75.jpg] Б. Риманом была высказана гипотеза, что все нули [img: http://localhost:8080/file/010125-76.jpg] в критич. полосе лежат на прямой [img: http://localhost:8080/file/010125-77.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-78.jpg] Из этой гипотезы следует, что [img: http://localhost:8080/file/010125-79.jpg] Наоборот, из соотношения [img: http://localhost:8080/file/010125-80.jpg] - произвольно мало, следует справедливость Римана гипотезы о нулях [img: http://localhost:8080/file/010125-81.jpg] Ж. Адамар и Ш. Ж. Ла Балле Пуссен получили асимптотич. закон распределения п. ч., доказав, что [img: http://localhost:8080/file/010125-82.jpg] не имеет нулей при [img: http://localhost:8080/file/010125-83.jpg]. Для величины [img: http://localhost:8080/file/010125-84.jpg] доказаны так наз. [img: http://localhost:8080/file/010125-85.jpg] -теоремы: существуют такие две последовательности [img: http://localhost:8080/file/010125-86.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010125-87.jpg] б) Другой проблемой теории распределения п. ч. является проблема оценки разности соседних п. ч., то есть числа [img: http://localhost:8080/file/010125-88.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-89.jpg] есть ге-е простое число. Здесь также первый общий результат принадлежит П. Л. Чебышеву, доказавшему, что между Nи 2N, [img: http://localhost:8080/file/010125-90.jpg] лежит п. ч. (Бертрана постулат). Оценка [img: http://localhost:8080/file/010125-91.jpg] тесно связана с функцией [img: http://localhost:8080/file/010125-92.jpg] - числом нулей [img: http://localhost:8080/file/010125-93.jpg] в прямоугольнике [img: http://localhost:8080/file/010125-94.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/010125-95.jpg] в свою очередь, тесно связана с функцией [img: http://localhost:8080/file/010125-96.jpg] Существуют гипотезы: [img: http://localhost:8080/file/010125-97.jpg] (плот-ностная гипотеза).и [img: http://localhost:8080/file/010125-98.jpg] (Линделёфа гипотеза), [img: http://localhost:8080/file/010125-99.jpg] - произвольно мало. Из гипотезы Рима-на о нулях [img: http://localhost:8080/file/010125-100.jpg] следует гипотеза Линделёфа, из гипотезы Линделёфа - плотностная гипотеза, из к-рой следует, что [img: http://localhost:8080/file/010125-101.jpg] Доказано, что [img: http://localhost:8080/file/010125-102.jpg] где в) [img: http://localhost:8080/file/010125-103.jpg] Вопрос о распределении п. ч. в арифметич. прогрессиях [img: http://localhost:8080/file/010125-104.jpg] приводит к вопросу о нулях специальных дзета-функций, так наз. L-рядов Дирихле, к-рые имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/010125-105.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-106.jpg] - коэффициенты, зависящие от пи от разности прогрессий [img: http://localhost:8080/file/010125-107.jpg] (характеры Дирихле по mod k). Проблемы распределения нулей L- рядов Дирихле и распределения п. ч. в арифметич. прогрессиях имеют свои специфич. особенности. Одно из самых крупных достижений в этом вопросе - следующее (К. Зигель; К. Siegel, 1935): пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-108.jpg] - число п. ч., не превосходящих [img: http://localhost:8080/file/010125-109.jpg] в прогрессии [img: http://localhost:8080/file/010125-110.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/010125-111.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-112.jpg] - Эйлера функция и [img: http://localhost:8080/file/010125-113.jpg] - произвольные фиксированные числа. Сведения о распределении п. ч. в арифметич. прогрессиях существенно используются при решении аддитивных задач с п. ч. См. также Распределение простых чисел. Аддитивные проблемы. К аддитивным задачам А. т. ч. относятся проблемы, связанные с уравнениями в целых числах специального вида. Основными вопросами в этой проблематике являются следующие: доказать разрешимость заданного уравнения, найти асимптотич. формулу для числа решений заданного уравнения. Второй вопрос значительно труднее, и положительный ответ на него в нек-ром смысле дает ответ на первый вопрос. Классич. примерами аддитивных задач являются Варинга проблемы, Гольдбаха проблема, Харди - Литлвуда проблема. Проблема Варинга (1770) формулируется так: пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-114.jpg] - число решений в целых положительных числах [img: http://localhost:8080/file/010125-115.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/010125-116.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-117.jpg] - целое число. Доказать, что существует такое число [img: http://localhost:8080/file/010125-118.jpg] (k0 зависит только от п), что [img: http://localhost:8080/file/010125-119.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010125-120.jpg] Другими словами, доказать, что любое число [img: http://localhost:8080/file/010125-121.jpg] может быть представлено суммой [img: http://localhost:8080/file/010125-122.jpg] степеней целых положительных чисел, причем число слагаемых в этом представлении зависит только от п. При n=2 задача была решена Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1770), к-рый доказал, что каждое целое положительное число есть сумма четырех квадратов целых чисел. Первое общее решение проблемы Варинга дано Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1909. Позднее, в 1924 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. Литлвуд (J. Little-wood), применив свой круговой метод, доказали, что для [img: http://localhost:8080/file/010125-123.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010125-124.jpg] имеет место асимптотич. формула вида: [img: http://localhost:8080/file/010125-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-126.jpg] с - абсолютная константа. А поскольку существует бесконечно много таких чисел N, к-рые для k = n не являются суммой n-x степеней, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010125-127.jpg] то возникла проблема установления истинного порядка величины kв зависимости от п, при к-ром разрешимо уравнение (1) п справедлива формула (2). Самые сильные результаты в этой проблеме принадлежат И. М. Виноградову, к-рый в 1934 доказал, что а) [img: http://localhost:8080/file/010125-128.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010125-129.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010125-130.jpg] б) формула (2) имеет место при [img: http://localhost:8080/file/010125-131.jpg] Другая классич. аддитивная проблема - проблема Гольдбаха - Эйлера (1742), состоит в следующем: пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-132.jpg] - число решений в простых числах [img: http://localhost:8080/file/010125-133.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/010125-134.jpg] доказать, что при нечетном [img: http://localhost:8080/file/010125-135.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/010125-136.jpg]. В 1937 И. М. Виноградов доказал, что (асимптотич. формула для J(N)). [img: http://localhost:8080/file/010125-137.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-138.jpg] Отсюда, в частности, следует, что [img: http://localhost:8080/file/010125-139.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010125-140.jpg] т. е. решение проблемы Гольдбаха - Эйлера для достаточно больших N. К аддитивным задачам относится проблема Харди - Литлвуда (1923); каждое [img: http://localhost:8080/file/010125-141.jpg] может быть представлено в виде [img: http://localhost:8080/file/010125-142.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-143.jpg] - простое число, [img: http://localhost:8080/file/010125-144.jpg] - целые положительные числа. В 1958 Ю. В. Линндк доказал, что если [img: http://localhost:8080/file/010125-145.jpg] - число решений этого уравнения, то имеет место асимптотич. формула [img: http://localhost:8080/file/010125-146.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-147.jpg] - абсолютная константа. Отсюда следует, что [img: http://localhost:8080/file/010125-148.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010125-149.jpg] т. е. решение проблемы Харди - Литлвуда для достаточно больших N. Имеется много аддитивных проблем, к-рые еще не решены и имеют возраст сотен и даже тысяч лет. К ним, напр., относятся вопросы о бесконечности числа п. ч. близнецов, т. е. пар п. ч. ри qтаких, что [img: http://localhost:8080/file/010125-150.jpg] бинарная проблема Гольбаха - Эйлера, т. е., что каждое четное число [img: http://localhost:8080/file/010125-151.jpg] есть сумма двух п. ч., проблема существования бесконечного числа п. ч. в последовательности вида [img: http://localhost:8080/file/010125-152.jpg] См. также Аддитивные проблемы. Поведение теоретико-числовых функций. В теории чисел имеется ряд классич. функций: [img: http://localhost:8080/file/010125-153.jpg] - число чисел, не превосходящих [img: http://localhost:8080/file/010125-154.jpg] и взаимно простых с п(функция Эйлера), [img: http://localhost:8080/file/010125-155.jpg] - число делителей числа п, [img: http://localhost:8080/file/010125-156.jpg] - Мёбиуса функция, [img: http://localhost:8080/file/010125-157.jpg] - Манголъдта функция и др. Несмотря на то, что каждая из указанных функции ведет себя довольно "неправильно", средние значения этих функций уже поддаются изучению. Под средним значением функции [img: http://localhost:8080/file/010125-158.jpg] понимают величину [img: http://localhost:8080/file/010125-159.jpg] Вопрос об оценке среднего значения функции [img: http://localhost:8080/file/010125-160.jpg] эквивалентен вопросу о границе нулей дзета-функции Рпмана. Вопрос об асимптотике среднего значения функции [img: http://localhost:8080/file/010125-161.jpg] эквивалентен вопросу об асимптотич. формуле для [img: http://localhost:8080/file/010125-162.jpg], т. е. также вопросу о границе нулей дзета-функции Римана. Во всех этих задачах достигнуты те же результаты, что и в проблеме распределения п. ч. Особо стоит вопрос об асимптотике среднего значения [img: http://localhost:8080/file/010125-163.jpg] или, несколько иначе, вопрос об асимптотич. формуле для суммы значений [img: http://localhost:8080/file/010125-164.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-165.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/010125-166.jpg] - число целых точек под гиперболой [img: http://localhost:8080/file/010125-167.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-168.jpg] Таким образом, нахождение асимптотики [img: http://localhost:8080/file/010125-169.jpg] - это проблема нахождения асимптотики числа целых точек в расширяющихся областях. К этой проблематике относится задача о числе целых точек в круге, т. е. задача о числе [img: http://localhost:8080/file/010125-170.jpg] х, у - целые числа, п обобщения этих задач на произвольные области как на плоскости, так и в пространстве, П. Дирихле (1849) доказал, что [img: http://localhost:8080/file/010125-171.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-172.jpg] Задачи нахождения наилучших возможных оценок величин [img: http://localhost:8080/file/010125-173.jpg] стали наз. соответственно делителей проблемой и круга проблемой. Г. Ф. Вороной (1903) получил [img: http://localhost:8080/file/010125-174.jpg] а В. Серпиньский ([img: http://localhost:8080/file/010125-175.jpg]) - [img: http://localhost:8080/file/010125-176.jpg] Кроме того, доказаны [img: http://localhost:8080/file/010125-177.jpg] -теоремы, а именно, что [img: http://localhost:8080/file/010125-178.jpg] В настоящее время (1976) получены оценки [img: http://localhost:8080/file/010125-179.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010125-180.jpg] несколько лучше, чем у Г. Ф. Вороного и В. Сер-пиньского. Родственной рассмотренным задачам является задача об асимптотике суммы дробных долей различного вида функций или эквивалентная ей задача - вопрос о распределении дробных долей различного вида функций. Обозначим через [img: http://localhost:8080/file/010125-181.jpg] дробную часть числа [img: http://localhost:8080/file/010125-182.jpg] Тогда если [img: http://localhost:8080/file/010125-183.jpg] - вещественная функция, то возникает вопрос об асимптотике следующих двух функций: [img: http://localhost:8080/file/010125-184.jpg] Если для любого [img: http://localhost:8080/file/010125-185.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-186.jpg] то говорят, что дробные доли функции [img: http://localhost:8080/file/010125-187.jpg] распределены равномерно. Равномерность распределения дробных долей функции [img: http://localhost:8080/file/010125-188.jpg] может быть выражена и в терминах асимптотики для [img: http://localhost:8080/file/010125-189.jpg]. Первые результаты о равномерном распределении дробных долей многочленов, критерии равномерного распределения были найдены Г. Вейлем (Н. Weyl, 1916). Наиболее точные результаты в этих вопросах получены И. и [img: http://localhost:8080/file/010125-191.jpg] п для тех случаев, когда ппробегает часть множества целых чисел, не превосходящих N, в частности множество п. ч. Относительно мало известно о распределении дробных долей функций, растущих быстрее многочленов. Напр., ничего не известно о распределении дробных долей функции [img: http://localhost:8080/file/010125-192.jpg]. Алгебраические и трансцендентные числа. К теории алгебраических и трансцендентных чисел относятся вопросы, связанные с арифметич. природой тех или иных чисел или классов чисел. Рассмотрим многочлены с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1; если [img: http://localhost:8080/file/010125-193.jpg] является корнем такого многочлена степени пи не является корнем многочлена меньшей степени, то оно наз. алгебраическим числом степени п;при n = 1 число [img: http://localhost:8080/file/010125-194.jpg] наз. рациональным. Если же [img: http://localhost:8080/file/010125-195.jpg] не является алгебраическим, то оно наз. трансцендентным числом. Алгебрапч. чисел "много меньше", чем трансцендентных, "почти любое" число - трансцендентное, однако вопросы об алгебраичности или трансцендентности конкретных чисел очень трудны. Основной "характеристикой" алгебраич. числа является тот факт, что они "плохо" приближаются рациональными числами. Это утверждение (Лиувилля теорема,1844) формулируется так: если [img: http://localhost:8080/file/010125-196.jpg] - алгебраич. число степени п, то [img: http://localhost:8080/file/010125-197.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-198.jpg] - константа, зависящая только от a, а ри q - произвольные целые числа. Следующий принципиальный шаг в этом вопросе сделал А. Туэ (A. Thue, 1909), идеи к-рого оказали большое влияние на всю теорию трансцендентных чисел. Он доказал, что [img: http://localhost:8080/file/010125-199.jpg] Далее величина хуменьшалась многими учеными, и в 1955 К. Ф. Рот (К. F. Roth) доказал, что [img: http://localhost:8080/file/010125-200.jpg] (известно, что [img: http://localhost:8080/file/010125-201.jpg]). Недостатком этих теорем (исключая теорему Лиувилля) является то, что все они не эффективны, т. е. по [img: http://localhost:8080/file/010125-202.jpg] и е нельзя вычислять с. Задачи о приближениях связаны с определенным классом задач из теории неопределенных уравнений. Так, А. Туэ из своей теоремы о приближении получил конечность числа целочисленных решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/010125-203.jpg] - форма с целыми коэффициентами степени [img: http://localhost:8080/file/010125-204.jpg], а - целое число, отличное от нуля (эта теорема также не эффективна, т. е. нельзя указать границы для решений уравнения). Другое направление этой теории - доказательство трансцендентности чисел. Первые результаты здесь были получены в конце 19 в. Ш. Эрмит (Ch. Hermite, 1873) доказал трансцендентность числа е;Ф. Линдеман (F. Lindemann, 1882) - трансцендентность числа л, и тем самым была отрицательно решена проблема о квадратуре круга. А. О. Гельфонд и Т. Шнейдер (Т. Schneider) в 1934 доказали теорему о том, что [img: http://localhost:8080/file/010125-205.jpg] является трансцендентным числом, если [img: http://localhost:8080/file/010125-206.jpg] - алгебраич. число [img: http://localhost:8080/file/010125-207.jpg] - алгебраич. число степени [img: http://localhost:8080/file/010125-208.jpg] (седьмая проблема Гильберта). А. Бейкером (A. Baker) начиная с 1967 был получен ряд эффективных теорем об оценке линейных форм от логарифмов алгебраич. чисел. Следствием этих теорем явилось эффективное доказательство теоремы Туэ о числе представлений целого числа формой. Существует много вопросов в теории трансцендентных чисел, к-рые еще ждут своего решения. К ним относятся вопрос о трансцендентности константы Эйлера [img: http://localhost:8080/file/010125-209.jpg] вопрос об алгебраич. зависимости чисел еи p и др. О некоторых методах в аналитической теории чисел. а) Метод комплексного интегрирования. Он порожден методом производящих функций Эйлера, к-рым часто решаются задачи элементарной математики. Основой служит следующая формула (разрывный множитель): [img: http://localhost:8080/file/010125-210.jpg] где интеграл берется по прямой [img: http://localhost:8080/file/010125-211.jpg] Так, при [img: http://localhost:8080/file/010125-212.jpg] имеем [img: http://localhost:8080/file/010125-213.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/010125-214.jpg] получаем [img: http://localhost:8080/file/010125-215.jpg] Слева стоит Чебышева функция, асимптотика для к-рой эквивалентна проблеме о п. ч. Правая же часть, после выделения главного члена, будет тем меньше, чем левее удастся перенести контур интегрирования. См. также Комплексного интегрирования метод. б) Круговой метод (Харди - Литлвуда - Рамануджана). Он применяется в основном в аддитивных задачах. Рассмотрим схему применения и существо кругового метода в форме тригонометрич. сумм Виноградова на тернарной проблеме Гольдбаха - Эйлера. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010125-216.jpg] - целое число. Тогда имеем (разрывный множитель): [img: http://localhost:8080/file/010125-217.jpg] Поэтому [img: http://localhost:8080/file/010125-218.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-219.jpg] - число решений в п. ч. уравнения [img: http://localhost:8080/file/010125-220.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-221.jpg]. Далее, интервал интегрирования [img: http://localhost:8080/file/010125-222.jpg] разбивается на две части - основной интервал и дополнительный: к основному интервалу относят все интервалы вида [img: http://localhost:8080/file/010125-223.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-224.jpg] к дополнительному интервалу отнесем все остальные. Основные интервалы не пересекаются. Кроме того, для [img: http://localhost:8080/file/010125-225.jpg] из основного интервала, сумма [img: http://localhost:8080/file/010125-226.jpg] "близка" к рациональной сумме [img: http://localhost:8080/file/010125-227.jpg]. Но при "малых" [img: http://localhost:8080/file/010125-228.jpg], известен закон распределения п. ч. в прогрессиях с разностью [img: http://localhost:8080/file/010125-229.jpg] (напр., теорема Зигеля), т. е. известна асимптотика сумм [img: http://localhost:8080/file/010125-230.jpg] Так выделяется главный член проблемы, и в этом состоит идея кругового метода. Если теперь нетривиально оценить [img: http://localhost:8080/file/010125-231.jpg] на дополнительных интервалах (см. Виноградова метод), то получится асимптотич. формула в проблеме Гольдбаха - Эйлера. См. также Круговой метод. в) Метод тригонометрических сумм. Большинство задач А. т. ч. может быть сформулировано в терминах тригонометрич. сумм - конечных сумм вида [img: http://localhost:8080/file/010125-232.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-233.jpg] - действительная функция, а [img: http://localhost:8080/file/010125-234.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-235.jpg] пробегают множество целых чисел в количестве Р. Таким образом, центр тяжести многих проблем переносится на задачу изучения таких сумм, в частности на задачу получения возможно более точной оценки модуля таких сумм. Тривиальной оценкой суммы (3) будет Р. Ставится задача получить оценку типа [img: http://localhost:8080/file/010125-236.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010125-237.jpg] наз. понижающим множителем. Первые нетривиальные оценки тригонометрич. сумм, когда [img: http://localhost:8080/file/010125-238.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-239.jpg] - многочлен, а [img: http://localhost:8080/file/010125-240.jpg] получил Г. Вейль (1919), к-рый одновременно доказал критерий равнораспределенности дробных долей функции в терминах тригонометрич. сумм. Создателем метода тригонометрич. сумм является И. М. Виноградов, к-рый, используя глубокие арифметич. свойства рассматриваемых сумм, получил исключительно сильные оценки модуля широкого класса таких сумм. Это позволило ему получить фундаментальные близкие к предельно возможным результаты в целом ряде вопросов теории чисел (проблема Варинга, Гильберта- Камке проблема, Вейля суммы). Другим следствием метода Виноградова (1937) было решение ряда аддитивных проблем с п. ч. и, в частности, решение проблемы Гольдбаха - Эйлера. Основной идеей метода Виноградова является идея "сглаживания" (возведение в степень тригонометрич. суммы и сведение оценки к теореме о среднем при оценках сумм Вейля; введение двойных тригонометрич. сумм при оценках сумм с п. ч.). См. также Тригонометрических сумм метод. г) Дисперсионный метод и метод большого решета. В 1958- 60 Ю. В. Линником был создан дисперсионный метод для решения целого ряда аддитивных задач теории чисел. Им были решены проблема Харди - Литлвуда, Титчмарша проблема делителей, аддитивная проблема делителей. Основным понятием метода является дисперсия для числа решений уравнения при предполагаемой асимптотике для числа решений нек-рого вспомогательного уравнения, связанного с основным (см. также Дисперсионный метод). В последнее время получены глубокие результаты при помощи метода большого решета Ю. В. Линника, к-рый был создан им в 1940 при решении проблемы о наименьшем квадратичном невычете. д) Методы в теории алгебраических и трансцендентных чисел. При доказательстве теоремы о приближении алгебранч. числа рациональной дробью, А. Туэ (см. Туэ метод).строит многочлен [img: http://localhost:8080/file/010125-241.jpg] с целыми коэффициентами, где [img: http://localhost:8080/file/010125-242.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010125-243.jpg] - тоже многочлены. Допуская, что [img: http://localhost:8080/file/010125-244.jpg] "хорошо" приближаются дробями [img: http://localhost:8080/file/010125-245.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010125-246.jpg] с достаточно большим [img: http://localhost:8080/file/010125-247.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010125-248.jpg], полагая [img: http://localhost:8080/file/010125-249.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-250.jpg] и доказывая, что [img: http://localhost:8080/file/010125-251.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010125-252.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010125-253.jpg] не обращается в нуль, получают противоречие. При доказательстве трансцендентности чисел А. О. Гельфонд строит функцию [img: http://localhost:8080/file/010125-254.jpg] В предположении, что [img: http://localhost:8080/file/010125-255.jpg] - алгебраич. число, при помощи принципа ящиков Дирихле целые не равные нулю числа [img: http://localhost:8080/file/010125-256.jpg] выбираются так, что [img: http://localhost:8080/file/010125-257.jpg] и "много" ее производных имеют "много" нулей. "Большое" количество нулей позволяет получить "хорошие" оценки сверху для "большого" числа производных и точек, а отсюда, при помощи оценок снизу, получаемых из теоремы Лиувилля, следует, что [img: http://localhost:8080/file/010125-258.jpg] и "много" ее производных имеют больше нулей, чем вначале. Повторение этого процесса приводит к тому, что либо [img: http://localhost:8080/file/010125-259.jpg] - рациональное число, либо [img: http://localhost:8080/file/010125-260.jpg] равны нулю, что противоречит их выбору. См. также Алгебраическое число, Трансцендентное число.