Мероморфная функция

одного комплексного переменного в области [img: http://localhost:8080/file/031409-645.jpg] (или на римановой поверхности W) - голоморфная функция в области [img: http://localhost:8080/file/031409-646.jpg] к-рая в каждой особой точке [img: http://localhost:8080/file/031409-647.jpg] имеет полюс (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031409-648.jpg] -изолированная точка множества [img: http://localhost:8080/file/031409-649.jpg] не имеющего предельных точек в W, и [img: http://localhost:8080/file/031409-650.jpg]). Совокупность M(W) всех М. ф. в W являетсяполем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях. Отношение [img: http://localhost:8080/file/031409-651.jpg] любых голоморфных в W функций, [img: http://localhost:8080/file/031409-652.jpg], является М. ф. в W. Обратно, всякая М. ф. в области [img: http://localhost:8080/file/031409-653.jpg] (и на некомпактной римановой поверхности W) представляется в виде [img: http://localhost:8080/file/031409-654.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031409-655.jpg] голоморфны и не имеют общих нулей в W. Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле [img: http://localhost:8080/file/031409-656.jpg] совпадает с полем отношений кольца [img: http://localhost:8080/file/031409-657.jpg] голоморфных функций в W. Всякая М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031409-658.jpg] определяет непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/031409-659.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/031409-660.jpg] в сферу Римана [img: http://localhost:8080/file/031409-661.jpg] к-рое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры [img: http://localhost:8080/file/031409-662.jpg] Обратно, всякое голоморфное отображение [img: http://localhost:8080/file/031409-663.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031409-664.jpg] определяет М. ф. f в [img: http://localhost:8080/file/031409-665.jpg]: множество полюсов f совпадает с дискретным множеством [img: http://localhost:8080/file/031409-666.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031409-667.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031409-668.jpg]. Таким образом, М. ф. одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями [img: http://localhost:8080/file/031409-669.jpg] в сферу Римана. Основные задачи теории М. ф.- это вопросы существования (и построения) М. ф. с данными особенностями. I. Задано замкнутое дискретное подмножество [img: http://localhost:8080/file/031409-670.jpg] и в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031409-671.jpg] -главная часть разложения Лорана [img: http://localhost:8080/file/031409-672.jpg] требуется найти М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031409-673.jpg] с этими главными частями, т. е. такую, что f голоморфна в [img: http://localhost:8080/file/031409-674.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031409-675.jpg] голоморфна в окрестности av для каждого V. Если число точек av конечно, то (в области [img: http://localhost:8080/file/031409-676.jpg]) задача решается тривиально функцией [img: http://localhost:8080/file/031409-677.jpg]. В общем случае эту задачу решает теорема Миттаг-Леффлера: на всякой некомпактной римановой поверхности существует М. ф. с заданными главными частями [img: http://localhost:8080/file/031409-678.jpg] На компактной римановой поверхности (напр., на торе) эта задача в общем неразрешима - нужны дополнительные условия согласования главных частей. Вторую основную задачу удобно формулировать в терминах дивизоров, т. е. отображений [img: http://localhost:8080/file/031409-679.jpg] таких, что для всякого компакта [img: http://localhost:8080/file/031409-680.jpg] число точек [img: http://localhost:8080/file/031409-681.jpg], в к-рых [img: http://localhost:8080/file/031409-682.jpg] конечно (число D(z) наз. кратностью Dв точке z). Дивизор наглядно можно записать в виде формальной суммы [img: http://localhost:8080/file/031409-683.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031409-684.jpg] -точки, в к-рых в случае конечного числа слагаемых число [img: http://localhost:8080/file/031409-686.jpg] наз. степенью дивизора D. Для М. ф. f ее дивизор (f) равен 0 во всех точках, кроме нулей и полюсов f, где его кратность полагается равной соответственно порядку нуля или полюса (порядки полюсов отрицательны). II. В точках замкнутого дискретного подмножества [img: http://localhost:8080/file/031409-687.jpg] заданы "кратности" - целые числа [img: http://localhost:8080/file/031409-688.jpg]. Требуется найти М. ф. с нулями и полюсами данных кратностей, т. е. такую, что f голоморфна в [img: http://localhost:8080/file/031409-689.jpg] голоморфна и не равна нулю в окрестности [img: http://localhost:8080/file/031409-690.jpg] В случае конечного числа точек [img: http://localhost:8080/file/031409-691.jpg] такой будет, напр., [img: http://localhost:8080/file/031409-692.jpg]. В общем случае задачу решает теорема Вейерштрасса: на некомпактной римановой поверхности [img: http://localhost:8080/file/031409-693.jpg] для любого заданного дивизора Dсуществует М. ф. f, дивизор к-рой (f) совпадает с D. Для компактной римановой поверхности [img: http://localhost:8080/file/031409-694.jpg] голоморфное отображение в сферу Римана, определяемое непостоянной М. ф. f, является разветвленным накрытием, и поэтому каждое значение функция f принимает одинаково часто, в частности число нулей f равно числу ее полюсов (с учетом кратностей). Таким образом, условие [img: http://localhost:8080/file/031409-695.jpg] необходимо для разрешимости задачи II на компактной римановой поверхности. В общем оно не достаточно; необходимое и достаточное условие существования М. ф. с данным дивизором дает теорема Абеля (см. [2]). Функции [img: http://localhost:8080/file/031409-696.jpg], удовлетворяющие условию [img: http://localhost:8080/file/031409-697.jpg] для данного дивизора Dна компактной римановой поверхности [img: http://localhost:8080/file/031409-698.jpg], образуют конечномерное линейное пространство [img: http://localhost:8080/file/031409-699.jpg] (над полем [img: http://localhost:8080/file/031409-700.jpg]); если [img: http://localhost:8080/file/031409-701.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031409-702.jpg]. Теорема Римана - Роха утверждает, что [img: http://localhost:8080/file/031409-703.jpg] где К - т. н. канонич. дивизор и g-род римановой поверхности [img: http://localhost:8080/file/031409-704.jpg]. Из этого соотношения получаются многие теоремы существования (если [img: http://localhost:8080/file/031409-705.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031409-706.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031409-707.jpg] и, значит, в [img: http://localhost:8080/file/031409-708.jpg] имеются непостоянные М. ф.). Напр., на всякой компактной римановой поверхности [img: http://localhost:8080/file/031409-709.jpg] рода [img: http://localhost:8080/file/031409-710.jpg] существует М. ф., осуществляющая не более чем [img: http://localhost:8080/file/031409-711.jpg] -листное разветвленное накрытие [img: http://localhost:8080/file/031409-712.jpg] Большое место в теории М. ф. одного комплексного переменного занимает распределения значений теория (теория Неванлинны), изучающая распределение корней уравнений [img: http://localhost:8080/file/031410-1.jpg] при подходе к границе области. Мероморфная функция нескольких комплексных переменных. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031410-2.jpg] - область в [img: http://localhost:8080/file/031410-3.jpg] (или комплексное n -мерное многообразие) и [img: http://localhost:8080/file/031410-4.jpg] - (комплексное) аналитич. подмножество коразмерности 1 (или пустое). Голоморфная функция f, определенная в [img: http://localhost:8080/file/031410-5.jpg], наз. мероморфной функцией в [img: http://localhost:8080/file/031410-6.jpg], если для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/031410-7.jpg] найдется сколь угодно малая окрестность [img: http://localhost:8080/file/031410-8.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031410-9.jpg] и голоморфные в Uфункции [img: http://localhost:8080/file/031410-10.jpg] без общих необратимых в O(U). множителей такие, что [img: http://localhost:8080/file/031410-11.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031410-12.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/031410-13.jpg] наз. полярным мно жеством М. ф. f. Его подмножество [img: http://localhost:8080/file/031410-14.jpg], к-рое локально определяется условием [img: http://localhost:8080/file/031410-15.jpg] наз. множеством (точек) неопределенности М. ф. f; это аналитич. одмножество [img: http://localhost:8080/file/031410-16.jpg] (комплексной) коразмерности [img: http://localhost:8080/file/031410-17.jpg]. В каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031410-18.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/031410-19.jpg] не определена по существу: предельные значения [img: http://localhost:8080/file/031410-20.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031410-21.jpg] заполняют всю сферу Римана [img: http://localhost:8080/file/031410-22.jpg]. С другой стороны, в точках множества [img: http://localhost:8080/file/031410-23.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/031410-24.jpg], и после доопределения [img: http://localhost:8080/file/031410-25.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031410-26.jpg] получается голоморфное отображение [img: http://localhost:8080/file/031410-27.jpg] в сферу Римана. Обратно, если [img: http://localhost:8080/file/031410-28.jpg] - произвольное комплексное аналитич. одмножество W. коразмерности [img: http://localhost:8080/file/031410-29.jpg] (возможно, пустое), то любое голоморфное отображение [img: http://localhost:8080/file/031410-30.jpg] определяет М. ф. в [img: http://localhost:8080/file/031410-31.jpg], равную [img: http://localhost:8080/file/031410-32.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031410-33.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031410-34.jpg] оказывается аналитич. одмножеством [img: http://localhost:8080/file/031410-35.jpg] коразмерности 1 или пустым. Таким образом, М. ф. f в [img: http://localhost:8080/file/031410-36.jpg] - это голоморфное отображение в сферу Римана, определенное вне аналитич. одмножества [img: http://localhost:8080/file/031410-37.jpg] коразмерности [img: http://localhost:8080/file/031410-38.jpg] Третье, полностью локализованное, определение М. ф. (эквивалентное приведенным выше) формулируется в терминах пучков. Пусть О- пучок ростков голоморфных функций на [img: http://localhost:8080/file/031410-39.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031410-40.jpg] для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/031410-41.jpg] есть поле отношений кольца [img: http://localhost:8080/file/031410-42.jpg] (слоя пучка Онад точкой z). Тогда [img: http://localhost:8080/file/031410-43.jpg] естественно наделяется структурой пучка полей, к-рый наз. пучком ростков М. ф. в W. М. ф. в W. определяется как глобальное сечение М, т. е. непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/031410-44.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031410-45.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031410-46.jpg]. Множества [img: http://localhost:8080/file/031410-47.jpg] определяются так: если [img: http://localhost:8080/file/031410-48.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031410-49.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031410-50.jpg], то можно считать, что [img: http://localhost:8080/file/031410-51.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031410-52.jpg] взаимно просты, т. е. не имеют общих необратимых в [img: http://localhost:8080/file/031410-53.jpg] множителей; тогда [img: http://localhost:8080/file/031410-54.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031410-55.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/031410-56.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031410-57.jpg] Значение так определенной М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031410-58.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/031410-59.jpg], по определению, равно [img: http://localhost:8080/file/031410-60.jpg]. Как и в одномерном случае, совокупность всех М. ф. в [img: http://localhost:8080/file/031410-61.jpg] образует поле [img: http://localhost:8080/file/031410-62.jpg] относительно поточечных алгебраич. операций с последующим доопределением в устранимых особенностях. Замыкание [img: http://localhost:8080/file/031410-63.jpg] множества нулей М. ф. f, т. е. множества [img: http://localhost:8080/file/031410-64.jpg] является аналитич. одмножеством [img: http://localhost:8080/file/031410-65.jpg] коразмерности 1 (или пустым), множество неопределенности [img: http://localhost:8080/file/031410-66.jpg]. На [img: http://localhost:8080/file/031410-67.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031410-68.jpg] можно определить порядки (кратности) нулей и полюсов М. ф. f. Если р- регулярная точка аналитич. множества [img: http://localhost:8080/file/031410-69.jpg], то в нек-рой окрестности [img: http://localhost:8080/file/031410-70.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/031410-71.jpg] связно и задается уравнением [img: http://localhost:8080/file/031410-72.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031410-73.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/031410-74.jpg] всюду в U. Поэтому существует максимальное целое число [img: http://localhost:8080/file/031410-75.jpg] такое, что функция [img: http://localhost:8080/file/031410-76.jpg] голоморфно продолжается в U;. это число наз. порядком (нуля, если [img: http://localhost:8080/file/031410-77.jpg], и полюса, если рОР). М. ф. f в точке р. Функция k(р)локально постоянна на множестве регулярных точек [img: http://localhost:8080/file/031410-78.jpg]. Поэтому каждой М. ф. f в [img: http://localhost:8080/file/031410-79.jpg] можно сопоставить ее дивизор [img: http://localhost:8080/file/031410-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031410-81.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031410-82.jpg] -неприводимые компоненты [img: http://localhost:8080/file/031410-83.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031410-84.jpg] -кратность (порядок) [img: http://localhost:8080/file/031410-85.jpg] в регулярных точках [img: http://localhost:8080/file/031410-86.jpg], принадлежащих [img: http://localhost:8080/file/031410-87.jpg] (другие обозначения: [img: http://localhost:8080/file/031410-88.jpg] и т. п.). На компактном комплексном многообразии М. ф. определяется своим дивизором однозначно с точностью до постоянного множителя. Задачи, к-рые в одномерном случае решают теоремы Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса, в многомерном случае наз. соответственно первой (аддитивной) и второй (мультипликативной) Кузена проблемами. Ввиду сложности полярного множества [img: http://localhost:8080/file/031410-89.jpg] понятие главной части М. ф. f в общем не определено, и проблемы Кузена формулируются так. I. Дано открытое покрытие [img: http://localhost:8080/file/031410-90.jpg] многообразия W и в каждом [img: http://localhost:8080/file/031410-91.jpg] задана М. ф. fv; требуется найти М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031410-92.jpg] такую, что [img: http://localhost:8080/file/031410-93.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031410-94.jpg]. II. Для данного дивизора [img: http://localhost:8080/file/031410-95.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031410-96.jpg] найти М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031410-97.jpg] такую, что [img: http://localhost:8080/file/031410-98.jpg]. Условия разрешимости этих задач в многомерном случае гораздо более жесткие, чем в одномерном. Задача о представлении М. ф. в виде отношения двух голоморфных функций наз. проблемой Пуанкаре. Усиленная проблема Пуанкаре - представимость М. ф. в виде отношения голоморфных функций, ростки к-рых в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031410-99.jpg] взаимно просты в [img: http://localhost:8080/file/031410-100.jpg]. Проблема Пуанкаре неразрешима на связном компактном комплексном многообразии, если на нем есть непостоянные М. ф. Однако она разрешима в любой области [img: http://localhost:8080/file/031410-101.jpg], более того, в любой области на Штейна многообразии (см. [7]). Разрешимость усиленной проблемы Пуанкаре следует из разрешимости проблемы II Кузена (обратное неверно). Функции [img: http://localhost:8080/file/031410-102.jpg] наз. алгебраически зависимым и, если существует многочлен [img: http://localhost:8080/file/031410-103.jpg] от [img: http://localhost:8080/file/031410-104.jpg] переменных с комплексными коэффициентами такой, что [img: http://localhost:8080/file/031410-105.jpg] в общей области определения функций [img: http://localhost:8080/file/031410-106.jpg]. Максимальное число алгебраически независимых М. ф. на [img: http://localhost:8080/file/031410-107.jpg] наз. степенью трансцендентности поля [img: http://localhost:8080/file/031410-108.jpg]. На любом компактном комплексном многообразии это число не превосходит его (комплексной) размерности (теорема 3игеля), более того, это поле имеет конечное число образующих (см. [6]). На конкретных комплексных многообразиях М. ф. могут обладать дополнительными свойствами. Так, в проективном комплексном пространстве С Р п множество неопределенности любой непостоянной М. ф. непусто. Всякая М. ф. на проективном алгебраич. многообразии рациональна, т. е. представляется в виде отношения p/q однородных многочленов от однородных координат. На алгебраич. многообразиях поле [img: http://localhost:8080/file/031410-109.jpg] достаточно богато. С другой стороны, существуют комплексные многообразия (напр., нек-рые неалгебраич. торы), на к-рых всякая М. ф. постоянна. Многомерные обобщения теоремы Римана - Роха не столь эффективны, и теоремы существования различных классов М. ф. получаются лишь для нек-рых классов комплексных многообразий. См. также Вейерштрасса теорема, Миттаг-Леффлера теорема, Римана- Роха теорема.