mem_range_scalar_iff_commute_single

English

The center of the matrix subsemigroup equals the image of the center of the base semiring via the scalar map.

Русский

Центр подполного центра матриц равен изображению центра базового полускольного кольца через скалярное отображение.

LaTeX

$$$$\\mathrm{Subsemigroup}.\\mathrm{center}(\\\\mathrm{Matrix}(n,n,\\\\alpha)) = \\mathrm{Subsemigroup}.\\mathrm{map}(\\\\mathrm{Matrix}.\\\\mathrm{scalar}(n)).$$$$

Lean4

theorem mem_range_scalar_iff_commute_single {M : Matrix n n α} :
    M ∈ Set.range (Matrix.scalar n) ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (single i j 1) M :=
  by
  refine ⟨fun ⟨r, hr⟩ i j _ => hr ▸ Commute.symm ?_, mem_range_scalar_of_commute_single⟩
  rw [scalar_commute_iff]
  simp

Похожие утверждения