English
The center of the matrix subsemigroup equals the image of the center of the base semiring via the scalar map.
Русский
Центр подполного центра матриц равен изображению центра базового полускольного кольца через скалярное отображение.
LaTeX
$$$$\\mathrm{Subsemigroup}.\\mathrm{center}(\\\\mathrm{Matrix}(n,n,\\\\alpha)) = \\mathrm{Subsemigroup}.\\mathrm{map}(\\\\mathrm{Matrix}.\\\\mathrm{scalar}(n)).$$$$
Lean4
theorem mem_range_scalar_iff_commute_single {M : Matrix n n α} :
M ∈ Set.range (Matrix.scalar n) ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (single i j 1) M :=
by
refine ⟨fun ⟨r, hr⟩ i j _ => hr ▸ Commute.symm ?_, mem_range_scalar_of_commute_single⟩
rw [scalar_commute_iff]
simp