English
For x, y in ENat, we have x < y iff the symmetric image respects LT: withTopEquiv.symm x < withTopEquiv.symm y ↔ x < y.
Русский
Для x, y ∈ ENat верно x < y тогда и только тогда, когда симметричное отображение сохраняет порядок: withTopEquiv.symm x < withTopEquiv.symm y ↔ x < y.
LaTeX
$$$ \forall {x,y : \mathrm{ENat}},\; withTopEquiv.symm x < withTopEquiv.symm y \iff x < y $$$
Lean4
theorem lt_find_iff (n : ℕ) : (n : PartENat) < find P ↔ ∀ m ≤ n, ¬P m :=
by
refine ⟨?_, lt_find P n⟩
intro h m hm
by_cases H : (find P).Dom
· apply Nat.find_min H
rw [coe_lt_iff] at h
specialize h H
exact lt_of_le_of_lt hm h
· exact not_exists.mp H m