English
For commutative monoids M and N, the left and right injections form the coproduct isomorphism: (inl M N) ⊔ (inr M N) = id_{M×N}. In other words, the canonical pairing recovers the identity on M×N.
Русский
Для коммутативных моноидов M и N левые и правые инъекции образуют копродукт-изоморфизм: (inl M N) ⊔ (inr M N) = id_{M×N}. Иными словами, каноническое парирование восстанавливает тождество на M×N.
LaTeX
$$$(\\mathrm{inl}_{M,N}) \\coprod (\\mathrm{inr}_{M,N}) = \\mathrm{id}_{M\\times N}.$$$
Lean4
@[to_additive (attr := simp)]
theorem coprod_inl_inr {M N : Type*} [CommMonoid M] [CommMonoid N] : (inl M N).coprod (inr M N) = id (M × N) :=
coprod_unique (id <| M × N)
