exists_set_mem_of_union_eq_top — Mathlib

English

If the union over i of s i is nonempty and the ambient set is nonempty, then the index set is nonempty.

Русский

Если объединение по i множеств s(i) непусто и множество по умолчанию непусто, то индексное множество непусто.

LaTeX

$$$ (\\bigcup_i s_i).Nonempty \\\\Rightarrow \\\\ Nonempty\\, ι $$$

Lean4

theorem exists_set_mem_of_union_eq_top {ι : Type*} (t : Set ι) (s : ι → Set β) (w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤) (x : β) :
    ∃ i ∈ t, x ∈ s i := by
  have p : x ∈ ⊤ := Set.mem_univ x
  rw [← w, Set.mem_iUnion] at p
  simpa using p

Похожие утверждения