English
For a family of sets s(i) and a family f(i,·) of sets, if each s(i) is pairwise disjoint with respect to f(i), then the big Pi-structure is pairwise disjoint with the corresponding f.
Русский
Если каждая секция s(i) попарно непересекается относительно f(i), тогда вся Pi-структура попарно непересекается с соответствующим f.
LaTeX
$$$$\forall i, (s i).PairwiseDisjoint (f i) \Rightarrow ((univ: Set ι).pi s)\,\text{PairwiseDisjoint } (\lambda I, (univ: Set ι).pi (\lambda i, f i (I i))).$$$$
Lean4
theorem pairwise_sUnion {r : α → α → Prop} {s : Set (Set α)} (h : DirectedOn (· ⊆ ·) s) :
(⋃₀ s).Pairwise r ↔ ∀ a ∈ s, Set.Pairwise a r := by
rw [sUnion_eq_iUnion, pairwise_iUnion h.directed_val, SetCoe.forall]
