English
Let α, β, γ be types with a preorder on α. If f: α → Set β and g: α → Set γ are antitone (order-reversing), then the product map x ↦ f(x) × g(x) is antitone, i.e. for a ≤ b we have f(a) × g(a) ⊆ f(b) × g(b).
Русский
Пусть α, β, γ — типы с предиеры на α. Пусть f: α → Set β и g: α → Set γ — антимонотонны. Тогда x ↦ f(x) × g(x) антимонотонно, то есть при a ≤ b выполняется f(a) × g(a) ⊆ f(b) × g(b).
LaTeX
$$$\\forall a,b\\in\\alpha\\ (a\\le b\\Rightarrow f(a)\\subseteq f(b)) \\land (a\\le b\\Rightarrow g(a)\\subseteq g(b)) \\Rightarrow (a\\le b\\Rightarrow f(a)\\times g(a)\\subseteq f(b)\\times g(b)).$$$
Lean4
theorem _root_.Antitone.set_prod (hf : Antitone f) (hg : Antitone g) : Antitone fun x => f x ×ˢ g x := fun _ _ h =>
prod_mono (hf h) (hg h)
