English
The supremum of a set S of Setoids equals the equivalence closure of the supremum of the images of S under the underlying relation.
Русский
Супремум множества S отношений эквивалентности равен эквивгенционному замыканию над отношением, полученным как супремум изображений элементов S под ближайшей связью.
LaTeX
$$$$ \\mathrm{sSup}~S = \\mathrm{EqvGen.setoid}(\\mathrm{sSup}((\\⇑)'' S)). $$$$
Lean4
/-- The supremum of a set of equivalence relations is the equivalence closure of the
supremum of the set's image under the map to the underlying binary operation. -/
theorem sSup_def {s : Set (Setoid α)} : sSup s = EqvGen.setoid (sSup ((⇑) '' s)) :=
by
rw [sSup_eq_eqvGen, sSup_image]
congr with (x y)
simp only [iSup_apply, iSup_Prop_eq, exists_prop]
