English
If α and β are densely ordered, with NoMaxOrder on α, then the Lex-ordered sum α ⊕ₗ β is densely ordered as well; dense interpolation is provided through inl/inr and exists_between.
Русский
Если α и β плотно упорядочены и в α есть максимальный элемент, то Lex-перестановка суммы также плотно упорядочена; существование между элементами обеспечивается через существование между.
LaTeX
$$$\\text{DenselyOrdered}(\\alpha ⊕_ℓ β)$ under NoMaxOrder$$
Lean4
instance denselyOrdered_of_noMaxOrder [LT α] [LT β] [DenselyOrdered α] [DenselyOrdered β] [NoMaxOrder α] :
DenselyOrdered (α ⊕ₗ β) :=
⟨fun a b h =>
match a, b, h with
| inl _, inl _, Lex.inl h =>
let ⟨c, ha, hb⟩ := exists_between h
⟨toLex (inl c), inl_lt_inl_iff.2 ha, inl_lt_inl_iff.2 hb⟩
| inl a, inr _, Lex.sep _ _ =>
let ⟨c, h⟩ := exists_gt a
⟨toLex (inl c), inl_lt_inl_iff.2 h, inl_lt_inr _ _⟩
| inr _, inr _, Lex.inr h =>
let ⟨c, ha, hb⟩ := exists_between h
⟨toLex (inr c), inr_lt_inr_iff.2 ha, inr_lt_inr_iff.2 hb⟩⟩
