eq_zero_iff_gcd_ne_one — Mathlib

English

In a group α with gcd(card α, n) = 1, the same relation (a^n)^{n⁻¹} = a holds for all a ∈ α.

Русский

В группе α при gcd(|α|, n) = 1 выполняется (a^n)^{n⁻¹} = a для всех a ∈ α.

LaTeX

$$$(a^n)^{n^{-1}} = a$$$

Lean4

/-- If `p` is a prime and `a` is an integer, then `a : ZMod p` is zero if and only if
`gcd a p ≠ 1`. -/
theorem eq_zero_iff_gcd_ne_one {a : ℤ} {p : ℕ} [pp : Fact p.Prime] : (a : ZMod p) = 0 ↔ a.gcd p ≠ 1 := by
  rw [Ne, Int.gcd_comm, ← Int.isCoprime_iff_gcd_eq_one, (Nat.prime_iff_prime_int.1 pp.1).coprime_iff_not_dvd,
    Classical.not_not, intCast_zmod_eq_zero_iff_dvd]

Похожие утверждения