English
Let k ⊆ K be fields with K/k a Galois extension. For any limit g of the profinite Galois group functor and any element x ∈ K contained in a finite Galois intermediate field L, the algebra map produced by the auxiliary construction agrees with the liftNormal construction on L; i.e. the two ways of lifting x coincide.
Русский
Пусть поля k ⊆ K образуют галуа-рас(extension) с степенью над K. Для любого предела g профинитого галуа-группового функционала и элемента x ∈ K, лежащего в конечном Галуа-перемножении L, отображение, заданное вспомогательным построением, совпадает с liftNormal на L; т.е. две конструкции совмещают одно и то же значение x.
LaTeX
$$$toAlgEquivAux\; g\; x = (proj\; L\; g).liftNormal\; K\; x$$$
Lean4
theorem toAlgEquivAux_eq_liftNormal [IsGalois k K] (g : limit (asProfiniteGaloisGroupFunctor k K)) (x : K)
(L : FiniteGaloisIntermediateField k K) (hx : x ∈ L.toIntermediateField) :
toAlgEquivAux g x = (proj L g).liftNormal K x :=
by
rw [toAlgEquivAux_eq_proj_of_mem g x L hx]
exact (AlgEquiv.liftNormal_commutes (proj L g) _ ⟨x, hx⟩).symm
