English
For a Galois extension k ⊆ K, a subset A of automorphisms is a neighborhood of the identity in the Krull topology iff there exists a finite Galois intermediate field L with its fixing subgroup contained in A.
Русский
Для галуа-расширения k ⊆ K множество A автознакомостей образует окрестность единицы в топологии Краула тогда и только тогда существует конечное Галуа-полуистинное поле L, такое что его fixingSubgroup ⊆ A.
LaTeX
$$$A \in \mathcal{N}(1) \iff \exists L \text{ finite Galois intermediate field } k \subseteq L \subseteq K,\; L.{\text{fixingSubgroup}} \subseteq A$$$
Lean4
theorem krullTopology_mem_nhds_one_iff_of_isGalois [IsGalois k K] (A : Set (K ≃ₐ[k] K)) :
A ∈ 𝓝 1 ↔ ∃ (L : FiniteGaloisIntermediateField k K), (L.fixingSubgroup : Set _) ⊆ A :=
by
rw [krullTopology_mem_nhds_one_iff_of_normal]
exact
⟨fun ⟨L, _, hL, hsub⟩ ↦ ⟨{ toIntermediateField := L, isGalois := ⟨⟩ }, hsub⟩, fun ⟨L, hL⟩ ↦
⟨L, inferInstance, inferInstance, hL⟩⟩
