English
A Monge plane is the (n+1)-dimensional affine subspace spanned by the centroid of a face and orthogonal to the opposite edge, restricted to those i₁,i₂ with i₁ ≠ i₂.
Русский
Монге-плоскость — это (n+1)-мерное аффинное подпроstranstvo, проходящее через центроид грани и ортогональное к противоположному ребру, для пары i₁ ≠ i₂.
LaTeX
$$$$ \text{mongePlane}(s,i_1,i_2) = \text{mk}'(\text{centroid of the face}, \text{span orthogonal to } (P_{i_1}-P_{i_2})) \cap \text{affineSpan}(\mathrm{range}(s.points)). $$$$
Lean4
/-- The definition of a Monge plane. -/
theorem mongePlane_def {n : ℕ} (s : Simplex ℝ P (n + 2)) (i₁ i₂ : Fin (n + 3)) :
s.mongePlane i₁ i₂ =
mk' (({ i₁, i₂ }ᶜ : Finset (Fin (n + 3))).centroid ℝ s.points) (ℝ ∙ s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)ᗮ ⊓
affineSpan ℝ (Set.range s.points) :=
rfl
