isTangent_orthRadius_iff_mem — Mathlib

English

s.IsTangent as is equivalent to s.IsTangentAt s.center as, i.e., tangency at the center corresponds to radius zero and center ∈ as.

Русский

касание сферы прапараметра как эквивалентно касанию в центре как, то есть касание в центре эквивалентно радиусу нулю и центру принадлежит как.

LaTeX

$$$ s.IsTangent as \\iff (s.radius = 0 \\land s.center \\in as) $$$

Lean4

@[simp]
theorem isTangent_orthRadius_iff_mem {s : Sphere P} {p : P} : s.IsTangent (s.orthRadius p) ↔ p ∈ s :=
  by
  refine ⟨?_, fun h ↦ (isTangentAt_orthRadius_iff_mem.2 h).isTangent⟩
  rintro ⟨q, hs, hsp, hle⟩
  rw [orthRadius_le_orthRadius_iff] at hle
  rcases hle with rfl | rfl
  · exact hs
  · rw [center_mem_orthRadius_iff] at hsp
    rwa [← hsp] at hs

Похожие утверждения