English
Let ψ m, v m be C^n-differentiable on a set and suppose v m takes values in E1(b(m)). Then the map m ↦ TotalSpace.mk' F2 (b(m)) (ψ(m)(v(m))) is C^n-differentiable on that set.
Русский
Пусть ψ m и v m дифференцируемы в смысле C^n на множестве; тогда отображение m ↦ TotalSpace.mk' F2 (b(m)) (ψ(m)(v(m))) дифференцируемо по C^n на этом множестве.
LaTeX
$$$$\text{ContMDiff On } IM (IB.\prod 𝓘(\mathbb{k}, F_2)) n (m \mapsto \mathrm{TotalSpace.mk}' F_2 (b(m)) (\psi(m)(v(m)))) s.$$$$
Lean4
/-- Consider `C^n` maps `v : M → E₁` and `v : M → E₂` to vector bundles, over a base map
`b : M → B`, and bilinear maps `ψ m : E₁ (b m) → E₂ (b m) → E₃ (b m)` depending smoothly on `m`.
One can apply `ψ m` to `v m` and `w m`, and the resulting map is `C^n`. -/
theorem clm_bundle_apply₂
(hψ :
ContMDiff IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃)) n
(fun m ↦ TotalSpace.mk' (F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃) (E := fun (x : B) ↦ (E₁ x →L[𝕜] E₂ x →L[𝕜] E₃ x)) (b m) (ψ m)))
(hv : ContMDiff IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F₁)) n (fun m ↦ TotalSpace.mk' F₁ (b m) (v m)))
(hw : ContMDiff IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F₂)) n (fun m ↦ TotalSpace.mk' F₂ (b m) (w m))) :
ContMDiff IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F₃)) n (fun m ↦ TotalSpace.mk' F₃ (b m) (ψ m (v m) (w m))) := fun x ↦
(hψ x).clm_bundle_apply₂ (hv x) (hw x)
