English
If v and w are differentiable on a set, then their fiberwise inner product is differentiable on that set.
Русский
Если v и w дифференцируемы на множестве, то их волокно-внутреннее произведение дифференцируемо на этом множестве.
LaTeX
$$theorem inner_bundle (hv : ContMDiffOn IM (IB.prod 𝓘(ℝ, F)) n (fun m ↦ (v m : TotalSpace F E)) s) (hw : ContMDiffOn IM (IB.prod 𝓘(ℝ, F)) n (fun m ↦ (w m : TotalSpace F E)) s) : ContMDiffOn IM 𝓘(ℝ) n (fun b ↦ ⟪v b, w b⟫) s$$
Lean4
theorem add_section (hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ TotalSpace.mk' F x (s x)) x₀)
(ht : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ TotalSpace.mk' F x (t x)) x₀) :
ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ TotalSpace.mk' F x ((s + t) x)) x₀ :=
by
rw [← contMDiffWithinAt_univ] at hs ⊢
exact hs.add_section ht
