English
The Lie bracket of two vector fields on a manifold restricted to a subset s coincides with the corresponding pullback construction in charts, i.e., mlieBracketWithin equals lieBracketWithin when s is the ambient space.
Русский
Сопряжение Ли для двух векторных полей на многообразии, ограниченное подмножеством s, совпадает с экологическим конструктом в рамках диаграмм, т.е. mlieBracketWithin = lieBracketWithin при s = всё пространство.
LaTeX
$$$mlieBracketWithin I V W s x_0 = lieBracketWithin 𝕜 V W s$ for all x_0$$
Lean4
/-- The Lie bracket of two vector fields in a manifold, within a set. -/
def mlieBracketWithin (V W : Π (x : M), TangentSpace I x) (s : Set M) (x₀ : M) : TangentSpace I x₀ :=
mpullback I 𝓘(𝕜, E) (extChartAt I x₀)
(lieBracketWithin 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (extChartAt I x₀).symm V (range I))
(mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (extChartAt I x₀).symm W (range I)) ((extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range I))
x₀
