English
Under a pullback by a differentiable map f, the Lie bracket commutes with pullback: pullback( [V, W] ) = [pullback V, pullback W].
Русский
При отображении по непрерывной дифференцируемой карте f скобка Ли commutec с отображением: подстановка скобки равна склейке скобок.
LaTeX
$$$\mathrm{mpullbackWithin}(I, I', f, \mathrm{mlieBracketWithin}(I', V, W, t), s, x_0) = \mathrm{mlieBracketWithin}(I, \mathrm{mpullbackWithin}(I, I', f, V, s), \mathrm{mpullbackWithin}(I, I', f, W, s), s, x_0)$$$
Lean4
theorem mlieBracketWithin_subset (st : s ⊆ t) (ht : UniqueMDiffWithinAt I s x)
(hV : MDifferentiableWithinAt I I.tangent (fun x ↦ (V x : TangentBundle I M)) t x)
(hW : MDifferentiableWithinAt I I.tangent (fun x ↦ (W x : TangentBundle I M)) t x) :
mlieBracketWithin I V W s x = mlieBracketWithin I V W t x :=
mlieBracketWithin_of_mem_nhdsWithin (nhdsWithin_mono _ st self_mem_nhdsWithin) ht hV hW
