English
Let G be a group and S, T ⊆ G form a complement pair (every element of G can be written uniquely as a product s t with s ∈ S, t ∈ T). Then the map φ: S × T → G given by φ(s,t) = s t is a bijection; equivalently, every g ∈ G has a unique factorization g = s t with s ∈ S, t ∈ T.
Русский
Пусть G — группа, S и T — подмножества, образующие дополнение: каждый элемент g ∈ G записываетсяuni рукописно как произведение s t, где s ∈ S, t ∈ T, и это разложение уникально. Тогда отображение φ: S × T → G, φ(s,t) = s t, является биекцией; при этом каждый элемент g имеет уникальное представление g = s t с s ∈ S, t ∈ T.
LaTeX
$$$\forall g \in G, \exists! (s,t) \in S \times T: g = s t.$$$
Lean4
@[simp]
theorem equiv_symm_apply (x : S × T) : (hST.equiv.symm x : G) = x.1.1 * x.2.1 :=
rfl
