English
A finitely generated monoid has a minimal generating set; equivalently, there exists a finite subset S whose closure is the whole monoid and which is minimal with this property.
Русский
Конечный по базе моноид имеет минимальный порождающий набор; существует конечное множество S, такое что замыкание S даёт полный моноид и минимально这样.
LaTeX
$$$\\exists S : Finset M,\\; Minimal( Submonoid.closure ·.toSet = ⊤)\\; S$$$
Lean4
/-- An equivalent expression of `Monoid.FG` in terms of `Set.Finite` instead of `Finset`. -/
@[to_additive /-- An equivalent expression of `AddMonoid.FG` in terms of `Set.Finite` instead of `Finset`. -/
]
theorem fg_iff : Monoid.FG M ↔ ∃ S : Set M, Submonoid.closure S = (⊤ : Submonoid M) ∧ S.Finite :=
⟨fun _ => (Submonoid.fg_iff ⊤).1 FG.fg_top, fun h => ⟨(Submonoid.fg_iff ⊤).2 h⟩⟩
