English
Let G act on itself by conjugation. For any g in G, the stabilizer of g under this action consists exactly of those elements that commute with g; i.e., {x in G | xgx^{-1} = g} = {x in G | xg = gx}.
Русский
Пусть G действует на себе перекрёстно по сопряжению. Стabilizer элемента g ∈ G в этом действии состоит ровно из тех элементов, которые commute с g; то есть {x ∈ G | xgx^{-1} = g} = {x ∈ G | xg = gx}.
LaTeX
$$$ \operatorname{Stab}_{G}^{\mathrm{Conj}}(g) = \{ x \in G \mid x g x^{-1} = g \} = \{ x \in G \mid x g = g x \}. $$$
Lean4
theorem stabilizer_eq_centralizer (g : G) :
stabilizer (ConjAct G) g = centralizer (zpowers (toConjAct g) : Set (ConjAct G)) :=
le_antisymm (le_centralizer_iff.mp (zpowers_le.mpr fun _ => mul_inv_eq_iff_eq_mul.mp)) fun _ h =>
mul_inv_eq_of_eq_mul (h g (mem_zpowers g)).symm
