English
For any g in G, the centralizer of the singleton {g} coincides with the comap of the stabilizer of g under the conjugation action; i.e., the set of elements commuting with g is the same as the preimage of the stabilizer under the conjugation map.
Русский
Для элемента g ∈ G центральизатор множества {g} совпадает с предобразованием стабилизатора g при действии сопряжения; то есть элементы, commuting с g, совпадают с предобразом стабилизатора через отображение сопряжения.
LaTeX
$$$ C_G(\{g\}) = \{ x \in G \mid x g x^{-1} = g \} = \{ x \in G \mid x g = g x \}. $$$
Lean4
theorem _root_.Subgroup.centralizer_eq_comap_stabilizer (g : G) :
Subgroup.centralizer { g } = Subgroup.comap ConjAct.toConjAct.toMonoidHom (MulAction.stabilizer (ConjAct G) g) :=
by
ext k
simp only [mem_centralizer_iff, Set.mem_singleton_iff, forall_eq]
rw [eq_comm]
exact Iff.symm mul_inv_eq_iff_eq_mul
