English
The action of a group on a quotient by a subgroup corresponds to a natural isomorphism with the subquotients; stabilizer cores align with centralizers.
Русский
Действие группы на фактор-группу соответствует естественному изоморфизму с подфакторными объектами; ядро стабилизатора выравнивается с центральизатором.
LaTeX
$$normalCore_eq_ker$$
Lean4
/-- Cosets of the centralizer of an element embed into the set of commutators. -/
noncomputable def quotientCentralizerEmbedding (g : G) : G ⧸ centralizer (zpowers (g : G)) ↪ commutatorSet G :=
((MulAction.orbitEquivQuotientStabilizer (ConjAct G) g).trans
(quotientEquivOfEq (ConjAct.stabilizer_eq_centralizer g))).symm.toEmbedding.trans
⟨fun x =>
⟨x * g⁻¹,
let ⟨_, x, rfl⟩ := x
⟨x, g, rfl⟩⟩,
fun _ _ => Subtype.ext ∘ mul_right_cancel ∘ Subtype.ext_iff.mp⟩
