English
There exists a canonical CanLift structure from Set A to Subalgebra R A with carrier given by the set and closure under addition, multiplication, and containing all algebra images algebraMap R A r.
Русский
Существует каноническая структура CanLift从 множества A в Subalgebra R A с носителем равным заданному множеству и замкнутостью по сложению, умножению и включением всех образов алгебраMap R A r.
LaTeX
$$$ \exists h:\mathrm{CanLift}(\mathrm{Set} A, \mathrm{Subalgebra} R A, \uparrow, \; s \mapsto \Big( (\forall x,y\in s, x+y\in s) \wedge (\forall x,y\in s, x\,y\in s) \wedge (\forall r\in R, \ algebraMap\ R A\ r\in s) \Big) ).$$$
Lean4
instance (priority := 100) :
CanLift (Set A) (Subalgebra R A) (↑)
(fun s ↦
(∀ {x y}, x ∈ s → y ∈ s → x + y ∈ s) ∧ (∀ {x y}, x ∈ s → y ∈ s → x * y ∈ s) ∧ ∀ (r : R), algebraMap R A r ∈ s)
where
prf s
h :=
⟨{ carrier := s
zero_mem' := by simpa using h.2.2 0
add_mem' := h.1
one_mem' := by simpa using h.2.2 1
mul_mem' := h.2.1
algebraMap_mem' := h.2.2 }, rfl⟩
