English
For any x in a group and any integer i, the divisibility (orderOf x) ∣ i is equivalent to x^i = 1; this holds for both nonnegative and negative i with the appropriate interpretation of x^i.
Русский
Для любого x в группе и любого целого i делимость (orderOf x) ∣ i эквивалентна x^i = 1; это справедливо и для отрицательных i при правильной трактовке x^i.
LaTeX
$$$(\\operatorname{orderOf} x) \\mid i \\;\\Leftrightarrow\\; x^i = 1$$
Lean4
@[to_additive]
theorem orderOf_dvd_sub_iff_zpow_eq_zpow {a b : ℤ} : (orderOf x : ℤ) ∣ a - b ↔ x ^ a = x ^ b := by
rw [orderOf_dvd_iff_zpow_eq_one, zpow_sub, mul_inv_eq_one]