English
If there exists an isomorphism between the supports of two permutations equivariantly, then the permutations are conjugate.
Русский
Если существует изоморфизм между опорными множествами двух перестановок, то эти перестановки сопряжены.
LaTeX
$$$\\forall {\\alpha}, [\\text{DecidableEq } \\alpha] [\\text{Fintype } \\alpha] {\\sigma,\\tau : \\mathrm{Equiv.Perm}(\\alpha)} \\; \\big(\\text{exists an appropriate } f \\text{ with the required property} \\big) \\Rightarrow \\mathrm{IsConj}(\\sigma,\\tau)$$$
Lean4
theorem prod_Ioi_comp_eq_sign_mul_prod {R : Type*} [CommRing R] (σ : Equiv.Perm (Fin n)) {f : Fin n → Fin n → R}
(hf : ∀ i j, f i j = -f j i) : ∏ i, ∏ j ∈ Finset.Ioi i, f (σ i) (σ j) = σ.sign * ∏ i, ∏ j ∈ Finset.Ioi i, f i j :=
by
convert σ.prod_Iio_comp_eq_sign_mul_prod hf using 1
· apply Finset.prod_comm' (by simp)
convert rfl using 2
apply Finset.prod_comm' (by simp)
