English
Let α, p, a be as usual and f the permutation; then for any a, the equality of supports after mapping via a subtype embedding holds; in particular there are lemmas about membership equivalences between mapped sets.
Русский
Пусть α, p и f — обычные; для любого a выполняется равенство переноса опоры при отображении через вложение подтипа; имеется ряд лемм о равенствах принадлежности между отображенными множествами.
LaTeX
$$$\operatorname{mem}_{\operatorname{map}}(f,s) = \operatorname{mem}_{\operatorname{instMembership}}(s,a)$$$
Lean4
theorem pow_eq_on_of_mem_support (h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x) (k : ℕ) :
∀ x ∈ f.support ∩ g.support, (f ^ k) x = (g ^ k) x := by
induction k with
| zero => simp
| succ k hk =>
intro x hx
rw [pow_succ, mul_apply, pow_succ, mul_apply, h _ hx, hk]
rwa [mem_inter, apply_mem_support, ← h _ hx, apply_mem_support, ← mem_inter]
