toReal_klDiv_eq_integral_klFun — Mathlib

English

KL divergence is zero if and only if the two finite measures are equal.

Русский

Dивергенция KL равна нулю тогда и только тогда, когда две конечные меры равны.

LaTeX

$$$klDiv\\mu\\nu = 0 \\iff \\mu = \\nu$$$

Lean4

theorem toReal_klDiv_eq_integral_klFun (h : μ ≪ ν) : (klDiv μ ν).toReal = ∫ x, klFun (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν :=
  by
  by_cases h_int : Integrable (llr μ ν) μ
  · rw [klDiv_eq_integral_klFun, if_pos ⟨h, h_int⟩, ENNReal.toReal_ofReal]
    exact integral_nonneg fun _ ↦ klFun_nonneg ENNReal.toReal_nonneg
  · rw [integral_undef]
    · rw [klDiv_of_not_integrable h_int, ENNReal.toReal_top]
    · rwa [integrable_klFun_rnDeriv_iff h]

Похожие утверждения