index_nonempty — Mathlib

English

A similar criterion holds in terms of equality with the top submodule: p = ⊤ iff every basis element is in p.

Русский

Аналогичный критерий в терминах равенства верхнему подмодулю: p = ⊤ тогда и только тогда, когда каждый элемент базиса принадлежит p.

LaTeX

$$$p = \top \iff \forall i, b_i \in p$.$$

Lean4

theorem index_nonempty (b : Basis ι R M) [Nontrivial M] : Nonempty ι :=
  by
  obtain ⟨x, y, ne⟩ : ∃ x y : M, x ≠ y := Nontrivial.exists_pair_ne
  obtain ⟨i, _⟩ := not_forall.mp (mt b.ext_elem_iff.2 ne)
  exact ⟨i⟩

Похожие утверждения