English
Let f1 and f2 be linear endomorphisms on finite free modules M1 and M2 over a commutative ring R. Then the characteristic polynomial of their external direct sum (prodMap) is the product of their characteristic polynomials: χ_{f1.prodMap f2} = χ_{f1} χ_{f2}. In particular, the eigenvalue structure of the block-diagonal operator is the combination of those of each block.
Русский
Пусть f1 и f2 — линейныеendomorphisms модулей M1 и M2 над коммутативной колбой R. Тогда характеристический многочлен соответствующего блочно-диагонального оператора (externally суммированного) равен произведению характеристических многочленов отдельных блоков: χ_{f1.prodMap f2} = χ_{f1} χ_{f2}. Это отражает объединение спектров по блокам.
LaTeX
$$$\operatorname{charpoly}(f_1 \prodMap f_2) = \operatorname{charpoly}(f_1) \cdot \operatorname{charpoly}(f_2)$$$
Lean4
theorem charpoly_prodMap (f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁) (f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂) : (f₁.prodMap f₂).charpoly = f₁.charpoly * f₂.charpoly :=
by
let b₁ := chooseBasis R M₁
let b₂ := chooseBasis R M₂
let b := b₁.prod b₂
rw [← charpoly_toMatrix f₁ b₁, ← charpoly_toMatrix f₂ b₂, ← charpoly_toMatrix (f₁.prodMap f₂) b,
toMatrix_prodMap b₁ b₂ f₁ f₂, Matrix.charpoly_fromBlocks_zero₁₂]
