charpoly_eq_X_pow_finrank — Mathlib

English

For an endomorphism φ of a finite module over a domain, φ is nilpotent if and only if its characteristic polynomial is X^finrank.

Русский

Линейное отображение φ на конечном модуле выписывается как нильпотентное тогда и только тогда, когда его характеристическая полиномная полиномиальная часть равна X^(размер пространства).

LaTeX

$$$IsNilpotent(\\phi) \\iff \\operatorname{charpoly}(\\phi) = X^{\\operatorname{finrank} R M}$$$

Lean4

theorem charpoly_eq_X_pow_finrank {φ : Module.End R M} (h : IsNilpotent φ) : φ.charpoly = X ^ finrank R M :=
  by
  rw [← sub_eq_zero]
  apply IsNilpotent.eq_zero
  rw [finrank_eq_card_chooseBasisIndex]
  apply Matrix.isNilpotent_charpoly_sub_pow_of_isNilpotent
  exact h.map (LinearMap.toMatrixAlgEquiv (chooseBasis R M))

Похожие утверждения