sum_smul_index_semilinearMap' — Mathlib

English

The additive structure accompanying the linear equivalence coincides with the canonical additive equivalence induced by the underlying additive structure.

Русский

Аддитивная структура, сопровождающая линейное эквивалентное отображение, совпадает с канонической аддитивной эквивалентностью.

LaTeX

$$$$ (mapRange.linearEquiv f).toAddEquiv = (mapRange.addEquiv f.toAddEquiv). $$$$

Lean4

@[simp]
theorem sum_smul_index_semilinearMap' [Semiring R] [Semiring R₂] [AddCommMonoid M] [Module R M] [AddCommMonoid M₂]
    [Module R₂ M₂] {σ : R →+* R₂} {v : α →₀ M} {c : R} {h : α → M →ₛₗ[σ] M₂} :
    ((c • v).sum fun a => h a) = σ c • v.sum fun a => h a :=
  by
  rw [Finsupp.sum_smul_index', Finsupp.smul_sum]
  · simp only [map_smulₛₗ]
  · intro i
    exact (h i).map_zero

Похожие утверждения