English
Let R be a semiring, M a left R-module, and {v_i} a family of vectors in M indexed by α. There exists a canonical R-linear map linearCombination_R(v): (α →₀ R) → M that sends a finitely supported family of scalars l to the finite linear combination ∑ i∈α l(i) v_i (equivalently ∑ i l(i) v_i, since l has finite support).
Русский
Пусть R—полуприводимый полугрупп Р-модуль M и дано семейство в_i в M, индексированное множеством α. Существует каноническое линейное отображение linearCombination_R(v): (α →₀ R) → M, которое переводит конечную по опорнику l в линейную комбинацию ∑ i∈α l(i) v_i (то же выражение ∑ i l(i) v_i эквивалентно, поскольку поддержка l конечна).
LaTeX
$$$\\operatorname{linearCombination}_R(v)(l) = \\sum_i l(i) \\cdot v(i),$ где сумма конечна по поддержке $l$ (то есть равна нулю вне $\mathrm{supp}(l)$).$$
Lean4
/-- Interprets (l : α →₀ R) as a linear combination of the elements in the family (v : α → M) and
evaluates this linear combination. -/
def linearCombination : (α →₀ R) →ₗ[R] M :=
Finsupp.lsum ℕ fun i => LinearMap.id.smulRight (v i)
