relIndex_eq_natAbs_det — Mathlib

English

An additive isomorphism e between submodules yields a determinant whose natAbs equals the cardinality of the quotient M/N.

Русский

Канал令人：аддитивное изоморфизм e между подмодулями даёт детерминант, natAbs которого равен кардинальности модуля M/N.

LaTeX

$$$$ \operatorname{natAbs}( \det( N.subtype \circ e ) ) = \#( M / N ). $$$$

Lean4

theorem relIndex_eq_natAbs_det {E : Type*} [AddCommGroup E] (L₁ L₂ : AddSubgroup E) (H : L₁ ≤ L₂) {ι : Type*}
    [DecidableEq ι] [Fintype ι] (b₁ : Basis ι ℤ L₁.toIntSubmodule) (b₂ : Basis ι ℤ L₂.toIntSubmodule) :
    L₁.relIndex L₂ = (b₂.det (fun i ↦ ⟨b₁ i, (H (SetLike.coe_mem _))⟩)).natAbs :=
  by
  rw [relIndex, index_eq_natAbs_det b₂ _ (b₁.map (addSubgroupOfEquivOfLe H).toIntLinearEquiv.symm)]
  rfl

Похожие утверждения