addSubgroup_index_ne_zero_iff — Mathlib

English

The index of an additive subgroup H of ι → ℤ equals zero if the rank is less than the full one; otherwise it equals the product of the indices of the coordinate subgroups.

Русский

Индекс подгруппы равен нулю, если ранг меньше полной размерности; иначе — произведение индексов координатных подгрупп.

LaTeX

$$H.index = 0 \text{ or } \prod_i (H_i.index)$$

Lean4

theorem addSubgroup_index_ne_zero_iff {H : AddSubgroup (ι → ℤ)} : H.index ≠ 0 ↔ Nonempty (H ≃+ (ι → ℤ)) :=
  by
  convert submodule_toAddSubgroup_index_ne_zero_iff (N := AddSubgroup.toIntSubmodule H) using 1
  exact ⟨fun ⟨e⟩ ↦ ⟨e.toIntLinearEquiv⟩, fun ⟨e⟩ ↦ ⟨e.toAddEquiv⟩⟩

Похожие утверждения