English
Let R be a principal ideal domain and S be a domain that is finite and free as an R-module with an R-algebra structure. For any nonzero ideal I of S, the finite rank of I considered as an R-submodule of S equals the finite rank of S.
Русский
Пусть R — цилиндрический целочисленный领域 (PID), S — домен, который является конечным и свободным как модуль над R и имеет структуру R-алгебры. Для любого ненулевого идеала I в S ранг I как подмодуля над R равен рангу S над R.
LaTeX
$$$\\operatorname{finrank}_R(I) = \\operatorname{finrank}_R(S)$$$
Lean4
theorem finrank_eq_finrank [Finite ι] (b : Basis ι R S) (I : Ideal S) (hI : I ≠ ⊥) :
Module.finrank R (restrictScalars R I) = Module.finrank R S :=
by
obtain ⟨_, bS, bI, _, _, _⟩ := (I.restrictScalars R).smithNormalForm b
cases nonempty_fintype ι
rw [Module.finrank_eq_card_basis bS, Module.finrank_eq_card_basis bI]
exact Ideal.rank_eq bS hI (bI.map ((restrictScalarsEquiv R S S I).restrictScalars R))
