English
Let R be a commutative semiring and {A_i}_{i∈I} a family of R-algebras. The free product of this family is obtained by taking the quotient of the free tensor algebra by the relations that encode the algebraic structure of each A_i and their interactions; this quotient is denoted as FreeProduct R A, and is the universal object receiving maps from each A_i.
Русский
Пусть R — коммутативное полупring, и {A_i}_{i∈I} — семейство R-алгебр. Свободный произведение этой семейства строится как фактор-алгебра свободной тензорной алгебры по отношению rel', давая объект FreeProduct R A, который служит универсальным образом для отображений из каждого A_i.
LaTeX
$$$\mathrm{asPowers}(R,A) = \mathrm{RingQuot}\bigl(\mathrm{FreeProduct}.rel'(R,A)\bigr)$$$
Lean4
/-- The free product of the collection of `R`-algebras `A i`,
as a quotient of `PowerAlgebra R A` -/
@[reducible]
def asPowers :=
RingQuot <| FreeProduct.rel' R A
