card_eq_of_linearEquiv — Mathlib

English

Let R be a semiring with invariant basis number. If there is a linear equivalence between the R-modules α → R and β → R (with α,β finite), then the cardinalities satisfy |α| = |β|.

Русский

Пусть R — полужёванное кольцо с UBN. Если существует линейное взаимнооднозначное отображение между модулями α → R и β → R (где α,β конечны), тоcard(α) = card(β).

LaTeX

$$For all α,β with Fintype, if (α → R) ≃ₗ[R] (β → R) then Fintype.card α = Fintype.card β.$$

Lean4

theorem card_eq_of_linearEquiv {α β : Type*} [Fintype α] [Fintype β] (f : (α → R) ≃ₗ[R] β → R) :
    Fintype.card α = Fintype.card β :=
  eq_of_fin_equiv R
    ((LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin α)).trans f ≪≫ₗ
      (LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin β)).symm)

Похожие утверждения