English
If the kernel of a linear map is disjoint from the span of a family, then the family is LI if and only if its composition with the linear map is LI.
Русский
Если ядро линейного отображения дисjoint с областью порождаемых векторов, тогда семейство линейно независимо тогда и только тогда, когда оно линейно независимо после композиции с отображением.
LaTeX
$$$$\\operatorname{LinearIndependent}_R(v) \iff \\operatorname{LinearIndependent}_R(f\\circ v) \\quad\\text{given } \\operatorname{Disjoint}(\\operatorname{span}(\\{v\\}), \\ker f).$$$$
Lean4
theorem linearIndepOn_iff_notMem_span : LinearIndepOn K v s ↔ ∀ i ∈ s, v i ∉ span K (v '' (s \ { i })) :=
by
rw [LinearIndepOn, linearIndependent_iff_notMem_span, ← Function.comp_def]
simp_rw [Set.image_comp]
simp [Set.image_diff Subtype.val_injective]
