English
There exists a maximal independent set for the union over a finite iUnion of sets, respecting independence on each component and a finite-disjointness condition.
Русский
Существует максимальная независимая подмножество объединения по конечному iUnion, сохраняющее независимость на каждом компоненте и удовлетворяющее условию раздельности для конечных подмножеств.
LaTeX
$$$\\exists s\\; \\mathrm{LinearIndepOn}_R(v,s) \\land \\forall t\\,(s\\subseteq t \\Rightarrow \\mathrm{LinearIndepOn}_R(v,t)\\Rightarrow s=t)$$$
Lean4
/-- A finite family of vectors `v i` is linear independent iff the linear map that sends
`c : ι → R` to `∑ i, c i • v i` has the trivial kernel. -/
theorem linearIndependent_iff' [Fintype ι] [DecidableEq ι] :
LinearIndependent R v ↔ LinearMap.ker (LinearMap.lsum R (fun _ ↦ R) ℕ fun i ↦ LinearMap.id.smulRight (v i)) = ⊥ :=
by simp [Fintype.linearIndependent_iff, LinearMap.ker_eq_bot', funext_iff]
