det_eq_detp_sub_detp — Mathlib

English

The determinant of a diagonal matrix equals the product of its diagonal entries.

Русский

Детерминант диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

LaTeX

$$$\\det(\\mathrm{diagonal}(d)) = \\prod_i d_i$$$

Lean4

theorem det_eq_detp_sub_detp (M : Matrix n n R) : M.det = M.detp 1 - M.detp (-1) :=
  by
  rw [det_apply, ← Equiv.sum_comp (Equiv.inv (Perm n)), ← ofSign_disjUnion, sum_disjUnion]
  simp_rw [inv_apply, sign_inv, sub_eq_add_neg, detp, ← sum_neg_distrib]
  refine congr_arg₂ (· + ·) (sum_congr rfl fun σ hσ ↦ ?_) (sum_congr rfl fun σ hσ ↦ ?_) <;>
      rw [mem_ofSign.mp hσ, ← Equiv.prod_comp σ] <;>
    simp

Похожие утверждения