self_mul_conjTranspose_eq_zero

Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.DotProduct

URI: https://scilib.ai/kg/mathlib#Matrix.self_mul_conjTranspose_eq_zero

← MathLib Explorer

English

For A and B, B(A^H A) = 0 iff B A^H = 0.

Русский

Для матриц B, A: B(A^H A) = 0 тогда и только если B A^H = 0.

LaTeX

$$B(A^{\!H}A) = 0 \iff BA^{\!H} = 0$$

Lean4

@[simp]
theorem self_mul_conjTranspose_eq_zero {m} {A : Matrix m n R} : A * Aᴴ = 0 ↔ A = 0 :=
  ⟨fun h => Matrix.ext fun i j => (congr_fun <| dotProduct_self_star_eq_zero.1 <| Matrix.ext_iff.2 h i i) j, fun h =>
    h ▸ Matrix.zero_mul _⟩

Похожие утверждения

Научная платформа российской исследовательской школы.

Разделы

MathLib Explorer
Graph RAG
Лаборатория
Блог
О проекте
Команда

Аффилиация

Вычислительный центр им. А. А. Дороницына при ФИЦ «Информатика и Управление» РАН frccsc.ru