toMatrixAlgEquiv_transpose_apply — Mathlib

English

If M and M′ are mutual inverses (M M′ = 1 and M′ M = 1), then Matrix.toLin v1 v2 M is an isomorphism M1 ≃ M2 with inverse given by Matrix.toLin v2 v1 M′.

Русский

Если M и M′ являются взаимно обратными (M M′ = 1 и M′ M = 1), то Matrix.toLin v1 v2 M задаёт изоморфизм между M1 и M2 с обратным отображением, заданным Matrix.toLin v2 v1 M′.

LaTeX

$$$M M' = 1 \land M' M = 1 \Rightarrow M_1 \simeq_R M_2$ via \mathrm{toLin}_{v_1,v_2}(M) и inverse через \mathrm{toLin}_{v_2,v_1}(M').$$

Lean4

theorem toMatrixAlgEquiv_transpose_apply (f : M₁ →ₗ[R] M₁) (j : n) :
    (LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁ f)ᵀ j = v₁.repr (f (v₁ j)) :=
  funext fun i ↦ f.toMatrix_apply _ _ i j

Похожие утверждения