English
Let R be a commutative semiring and M1 be a finitely generated free R‑module with basis v1. The matrix representation map from End_R(M1) to the n×n matrix algebra is multiplicative: the matrix of f ∘ g is the product of the matrices of f and g.
Русский
Пусть R — коммутативная полупраймовая полукаммутная полугруппа, M1 — свободное конечномодульное R‑модуля с базисом v1. Отображение, отправляющее эндоморфизм f: M1 → M1 в его матрицу по базису v1, сохраняет умножение: матрица композиции f ∘ g равна произведению матриц f и g.
LaTeX
$$$\operatorname{toMatrixAlgEquiv}_{v_1}(f \circ g) = \operatorname{toMatrixAlgEquiv}_{v_1}(f) \cdot \operatorname{toMatrixAlgEquiv}_{v_1}(g).$$$
Lean4
theorem toMatrixAlgEquiv_comp (f g : M₁ →ₗ[R] M₁) :
LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁ (f.comp g) = LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁ f * LinearMap.toMatrixAlgEquiv v₁ g := by
simp [LinearMap.toMatrixAlgEquiv, LinearMap.toMatrix_comp v₁ v₁ v₁ f g]
