smul_iff — Mathlib

English

If all off-diagonal entries are negative and each column sums to a positive number, then det is nonzero.

Русский

Если все недиагональные элементы отрицательны, а сумма по каждой колонке положительна, детерминант не равен нулю.

LaTeX

$$$\\det A \\neq 0 \\quad\\text{if off\\-diagonal entries negative and column sums positive}$$$

Lean4

theorem smul_iff [Finite n] {A : Type*} [CommRing A] [IsDomain A] {M : Matrix n n A} {t : A} (h : t ≠ 0) :
    (t • M).Nondegenerate ↔ M.Nondegenerate :=
  by
  simp_rw [Nondegenerate, smul_mulVec, dotProduct_smul]
  refine ⟨fun hM v hv ↦ hM v fun w ↦ ?_, fun hM v hv ↦ hM v fun w ↦ ?_⟩
  · simp [hv]
  · exact (mul_eq_zero_iff_left h).mp <| hv w

Похожие утверждения