compLinearMap_injective — Mathlib

English

If each coordinate linear map f_i is surjective, then g ↦ g.compLinearMap f is injective on the space of multilinear maps.

Русский

Если каждый линейный отображение f_i сюръективно, то отображение g ↦ g.compLinearMap fFactory на пространстве мультиленейных отображений является инъективным.

LaTeX

$$$\\forall i, Surjective(f i) \\implies (g \\mapsto g.compLinearMap f)$ is injective$$

Lean4

/-- Composing with a family of surjective linear maps is injective. -/
theorem compLinearMap_injective (f : ∀ i, M₁ i →ₗ[R] M₁' i) (hf : ∀ i, Surjective (f i)) :
    Injective fun g : MultilinearMap R M₁' M₂ => g.compLinearMap f := fun g₁ g₂ h =>
  ext fun x => by simpa [fun i => surjInv_eq (hf i)] using MultilinearMap.ext_iff.mp h fun i => surjInv (hf i) (x i)

Похожие утверждения