English
PiTensorProduct is a module over R1 when R1 is a semiring and R-module structure on R commutes with R1.
Русский
PiTensorProduct является модулем над R1, когда R1 — полупрямой полугруппы, а структура модуля над R сохраняется при переносе через R.
LaTeX
$$$ \text{Module } R_1 (\PiTensorProduct(R, s)) $$$
Lean4
instance module' [Semiring R₁] [Module R₁ R] [SMulCommClass R₁ R R] : Module R₁ (⨂[R] i, s i) :=
{
PiTensorProduct.distribMulAction' with
add_smul := fun r r' x ↦
PiTensorProduct.induction_on' x (fun {r f} ↦ by simp_rw [smul_tprodCoeff', add_smul, add_tprodCoeff'])
fun {x y} ihx ihy ↦ by simp_rw [PiTensorProduct.smul_add, ihx, ihy, add_add_add_comm]
zero_smul := fun x ↦
PiTensorProduct.induction_on' x (fun {r f} ↦ by simp_rw [smul_tprodCoeff', zero_smul, zero_tprodCoeff])
fun {x y} ihx ihy ↦ by simp_rw [PiTensorProduct.smul_add, ihx, ihy, add_zero] }
-- shortcut instances
