submodule_injective — Mathlib

English

The map v ↦ v.submodule from ℙ_K(V) to Submodule_K(V) is injective; distinct projective points yield distinct one-dimensional subspaces.

Русский

Отображение v ↦ v.submodule с ℙ_K(V) в Submodule_K(V) инъективно; различные проективные точки дают разные одномерные подпространства.

LaTeX

$$Функция $\text{Projectivization.submodule}: \mathbb{P}_K(V) \to \mathrm{Submodule}_K(V)$ инъективна.$$

Lean4

theorem submodule_injective : Function.Injective (Projectivization.submodule : ℙ K V → Submodule K V) := fun u v h ↦ by
  induction u using ind with
  | h u hu =>
    induction v using ind with
    | h v hv =>
      rw [submodule_mk, submodule_mk, Submodule.span_singleton_eq_span_singleton] at h
      exact ((mk_eq_mk_iff K v u hv hu).2 h).symm

Похожие утверждения